GEOMETRÍA
Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la Geometría. La Geometría se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, etc.) que se realizaban.
La Geometría es la rama de las Matemáticas que ha estado sometida a más cambios a lo largo de la historia. Con los griegos alcanzó su plenitud, después cayó en el olvido como consecuencia de los éxitos del Álgebra y del Cálculo. En el siglo XIX recobró la importancia que tiene actualmente.
La Geometría se divide en diversas ramas: pura o elemental, analítica, diferencial y proyectiva
El libro de Geometría más importante es “Elementos” cuyo autor es Euclides. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones mas controvertidas de la historia de las matemáticas.
Otros importantes matemáticos en la historia de la geometría han sido: Pitágoras, Tales Descartes, Euler o Gauss.
Historia de la geometría
La geometría es
una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo
de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes.
En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos
de Herodoto, Estrabón y Diodoro Sículo, Euclides, en
el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento
que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría
euclidiana descrita en Los Elementos.
El estudio
de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las
posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste,
sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante
más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y
la geometría analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras
geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas
analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece
con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que
analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y
la geometría diferencial.
La geometría en Babilonia
La Civilización
Babilónica se les atribuye la invención de la rueda, es por eso que
además se les otorga su contribución a la investigación de la longitud de
las circunferencias en relación con su diámetro, siendo este el
número 3, este descubrimiento permitió a los Babilónicos considerar que la
longitud de las circunferencias era un valor intermedio entre los perímetros de
los cuadrados inscrito y circunscrito en una circunferencia. Mediante el uso de
la astronomía, ya que el año se dividía 360 días establecieron que la
circunferencia se dividía en 360 partes, obteniendo el grado sexagesimal.
Se les atribuye el conocimiento de cómo trazar un hexágono regular inscrito,
además de hallar el área del trapecio rectángulo.
La geometría en el Antiguo Egipto
Las primeras
civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos
geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en
el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro,
que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la
habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas
fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"–
para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con
ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de
tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el
nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la
tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').
Los
denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscú muestran
conjuntos de métodos prácticos para obtener diversas áreas y volúmenes,
destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos
implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento
que los antiguos egipcios tenían sobre la geometría.
Los
historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilización
sobre geometría –así como los de las culturas mesopotámicas– pasó íntegramente
a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y,
esencialmente, de Euclides.
La Geometría griega
La Geometría griega antes de Euclides
La Geometría
Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y
prácticos de tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del
razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al
crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos
partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para
poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una
como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar.
Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las
hipótesis se convierten en tesis a probar.
Euclides y Los elementos
Euclides,
vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la
cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la
veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de
ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra
cumbre, Los elementos, modelo de sistema axiomático-deductivo.
Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que
precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento.
Su obra, en trece volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta
entrado el siglo XIX.
Entre los
postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto
postulado) que trae problemas desde el principio. No se ponía en duda su
veracidad, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que
seguramente podía deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes
siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el
V postulado es o no independiente de los otros cuatro, es decir, si es
necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede
deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados
de la obra.
Después de Euclides
Euclides
casi cierra definitivamente la geometría griega –y por extensión la del mundo
antiguo–, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio de
Perge.
Arquímedes
analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo en geometría
otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso
cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el
cono.
Apolonio trabajó
en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones
cónicas y otras curvas.
Los tres problemas geométricos de la Antigüedad
La geometría
griega era incapaz de resolver tres famosos problemas geométricos (que
heredarán los matemáticos posteriores), puesto que debían ser resueltos
utilizando únicamente la regla y compás «ideales», únicos
instrumentos válidos en la geometría griega. Estos tres problemas son los
siguientes:
La duplicación del cubo
Cuenta la
leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas,
hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad
fue al oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar qué se
debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la
respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de
Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los
atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del
altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado
de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de
grande, sino ocho veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su
lado (). Nadie
supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen
de otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos (no así la
enfermedad).
La trisección del ángulo
Este
problema consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales,
empleando únicamente la regla y el compás, de manera que la suma de las medidas
de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero.
La cuadratura del círculo
La cuadratura
del círculo consiste en tratar de obtener un cuadrado cuya área mida
exactamente lo mismo que el área de un círculo dado. Anaxágoras fue
el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda. Fue
apresado por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los
dioses. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a
ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David
Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el
problema. Hume no tenía suficientes conocimientos matemáticos, y nunca aceptó
que sus métodos
La Geometría en la Edad Media
Durante los
siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos de la mano de hindúes y
árabes en Trigonometría y Álgebra (el uso de la notación
posicional y del cero), aunque relacionadas con la Astronomía y
la Astrología; pero en geometría apenas hay nuevas aportaciones. En
Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes liberales (encuadrada
en el Quadrivium), las escuelas y universidades se limitan a enseñar los
"Elementos", y no hay aportaciones.
La
Geometría Cartesiana
René Descartes.
Pero es sin duda la
aparición de la geometría analítica lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un
nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar
en geometría.
El nuevo método
analiza la geometría utilizando ecuaciones algebraicas. Se cambia la regla y compás clásicos por
expresiones numéricas que se pueden representar mediante coordenadas
cartesianas. Utilizando notación actual, dicho método se expresa así:
En un plano se
trazan dos rectas perpendiculares (ejes) –que por convenio se trazan de manera
que una de ellas sea horizontal y la otra vertical–, y cada punto del plano
queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de
los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre
qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa
distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará
representado por un par ordenado , siendo la distancia
a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e la distancia
al otro eje (al horizontal).
En la
coordenada , el signo positivo
(que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del
eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite)
indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada , el signo positivo
(también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje
horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es
negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada se la suele
denominar abscisa del punto, mientras que a la se la
denomina ordenada del punto.
Ejes coordenados.
Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría Analítica", apéndice al "Discurso del Método", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.
Bibliografia
https://blogigf.wordpress.com/2007/05/03/introduccion-a-la-geometria/
https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_geometr%C3%ADa
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